Question

1．已知f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{16}}}（x+1），x＜0}\\{-{x^2}+x，x≥0}\end{array}}$，則關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根a，b，c，則a+b+c的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{4}$，1）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想可以看出0＜m＜$\frac{1}{4}$，進(jìn)而利用二次函數(shù)的對(duì)稱性可知b+c=1，a＜0，利用對(duì)數(shù)函數(shù)得出a的取值范圍．

解答 解：同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象如圖：

有圖可知f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根a，b，c，
不妨設(shè)a＜b＜c，
由圖象可知：b+c=1，a＜0，
且f（a）=log$\frac{1}{16}$（a+1）＜f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
∴0＞a＞-$\frac{1}{2}$，
∴a+b+c的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1），
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查了函數(shù)圖象的平移和二次函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)是對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的理解和應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．