Question

關(guān)于函數(shù)y=

1+sin2x-cos2x

1+sin2x+cos2x

有以下說(shuō)法：
（1）在定義域內(nèi)它是一個(gè)奇函數(shù)；
（2）在定義域內(nèi)它是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）它是一個(gè)周期函數(shù)，最小正周期為π；
（4）它的值域?yàn)镽．
其中正確的個(gè)數(shù)為（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：運(yùn)用二倍角公式的正弦和余弦，求出函數(shù)的定義域，由不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即可判斷（1）、（4）；
舉反例比如x₁=

π

4

，x₂=

5π

4

，tanx₁=tanx₂=1，即可判斷（2）；由周期函數(shù)的定義及正切函數(shù)的圖象，即可判斷（3）．

解答： 解：函數(shù)y=

1+sin2x-cos2x

1+sin2x+cos2x

=

(1-cos2x)+sin2x

(1+cos2x)+sin2x

=

2sin2x+2sinxcosx

2cos2x+2sinxcosx

=tanx，
由cosx≠0且sinx+cosx≠0，則x≠kπ+

π

2

且x≠kπ-

π

4

，k為整數(shù)，
故定義域?yàn)閧x|x≠kπ+

π

2

且x≠kπ-

π

4

，k為整數(shù)}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
故（1）在定義域內(nèi)不是一個(gè)奇函數(shù)，
（4）它的值域?yàn)閧y|y≠-1|．
（2）比如x₁=

π

4

，x₂=

5π

4

，tanx₁=tanx₂=1，則在定義域內(nèi)不是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）它是一個(gè)周期函數(shù)，最小正周期為π，正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，注意定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)才有奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性，注意區(qū)間，同時(shí)考查函數(shù)的周期性，以及函數(shù)的值域，屬于中檔題，易錯(cuò)題．