已知點M到點F（1，0）和直線x=-1的距離相等，記點M的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）過點F作相互垂直的兩條直線l1、l2，曲線C與l1交于點P1、P2，與l2交于點Q1、Q2，試證明：
1
|P1P2|
+
1
|Q1Q2|
=
1
4
．
考點：拋物線的標準方程
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用點M到點F（1，0）和直線x=-1的距離相等，由拋物線的定義可知：點M的軌跡是拋物線，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)l1的方程為y=k（x-1），代入拋物線方程，利用弦長公式求出|P1P2|，以-
1
k
代入，可得|Q1Q2|，代入可得結(jié)論．
解答： （1）解：∵點M到點F（1，0）和直線x=-1的距離相等，
由拋物線的定義可知：點M的軌跡是拋物線，
設(shè)方程為y2=2px（p＞0），∵
p
2
=1，∴p=2．
∴軌跡C的方程為y2=4x．
（2）證明：設(shè)l1的方程為y=k（x-1），代入拋物線方程，整理可得k2x-（2k2+4）x+k2=0，
設(shè)P1、P2的橫坐標分別為x1、x2，則x1+x2=
2k2+4
k2
，
∴|P1P2|=x1+x2+p=
4k2+4
k2
，
以-
1
k
代入，可得|Q1Q2|=4+4k2，
∴
1
|P1P2|
+
1
|Q1Q2|
=
1
4
．
點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線x2-
y2
3
=1的離心率為
m
2
，且拋物線y2=mx的焦點為F，點P（2，y0）（y0＞0）在此拋物線上，M為線段PF的中點，則點M到該拋物線的準線的距離為（　�。�
A、
5
2
B、2
C、
3
2
D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|lnx|-1．
（1）當x＞0時，解不等式x（x+
1
2
）≤
1
e2
．
（2）當x∈[t，t+
1
2
]（0＜t＜
1
e
），求函數(shù)g（x）=|f（x）|的最大值；
（3）當x＞e時，有f（x）＜x2-（k+2e）x+e2+ke恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
6
）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），并求f′（0）的值．
（Ⅱ）已知a，b是不相等的正數(shù)，且a＞0，b＞0，求證：
a3+b3
＞
a2b+ab2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知n∈N且n＞1，用放縮法證明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若1＜a＜b，求證0＜
(b+1)(a-1)
(b-1)(a+1)
＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|
PA
|-|
PB
|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②過定圓C上動點A作水平直徑所在直線的垂線AB，垂足為點B，若
AM
=
1
2
AB
，則點M的軌跡為橢圓；
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線
x2
25
-
y2
9
=1與橢圓
x2
35
+y2=1有相同的焦點．
其中真命題的序號為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題正確的是
 

①動點M至兩定點A、B的距離之比為常數(shù)λ（λ＞0且λ≠1）．則動點M的軌跡是圓．
②橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，則b=c(c為半焦距）．
③雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的焦點到漸近線的距離為b．
④知拋物線y2=2px上兩點A（x1，y1），B（x2，y2）且OA⊥OB（O為原點），則y1y2=-p2．
A．②③④B．①④C．①②③D．①③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若P={x|x＜1}，Q={x|x＞-1}，則（　�。�
A、∁RP⊆Q
B、Q⊆P
C、P⊆Q
D、Q⊆∁RP

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同步練習(xí)冊答案