Question

下列命題正確的是

 

①動(dòng)點(diǎn)M至兩定點(diǎn)A、B的距離之比為常數(shù)λ（λ＞0且λ≠1）．則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓．
②橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2

2

，則b=c(c為半焦距）．
③雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b．
④知拋物線y²=2px上兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O為原點(diǎn)），則y₁y₂=-p²．
A．②③④B．①④C．①②③D．①③

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡(jiǎn)易邏輯

分析：①設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），兩定點(diǎn)A（-c，0），B（c，0），（λ＞0且λ≠1，c＞0），則

|MA|

|MB|

=

(x+c)2+y2

(x-c)2+y2

=λ，化簡(jiǎn)即可得出；
②利用橢圓的離心率e=

2

2

=

c

a

，及a²=b²+c²，即可解出．
③取焦點(diǎn)F₂（c，0），漸近線y=

b

a

x，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得焦點(diǎn)到漸近線的距離．
④設(shè)直線AB的方程：x=my+n，與拋物線的方程聯(lián)立可得y²-2pmy-2pn=0，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0，化簡(jiǎn)即可得出．

解答： 解：①設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），兩定點(diǎn)A（-c，0），B（c，0），（λ＞0且λ≠1，c＞0）．
則

|MA|

|MB|

=

(x+c)2+y2

(x-c)2+y2

=λ，化為[x-

(λ2+1)c

λ2-1

]2+y2=(

2λc

λ2-1

)2，因此點(diǎn)M的軌跡是以(

λ2+1

λ2-1

c，0)為圓心，

2λc

|λ2-1|

為半徑的圓．
②∵橢圓的離心率e=

2

2

=

c

a

，∴a²=2c²，又a²=b²+c²，∴b²=c²，解得b=c．
③取焦點(diǎn)F₂（c，0），漸近線y=

b

a

x，則焦點(diǎn)到漸近線的距離=

|bc|

b2+a2

=

bc

c

=b，正確．
④設(shè)直線AB的方程：x=my+n，聯(lián)立

x=my+n y2=2px

，化為y²-2pmy-2pn=0，
∴y₁y₂=-2pn，y₁+y₂=2pm．
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵x₁x₂=（my₁+n）（my₂+n）=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2，
∴(m2+1)y1y2+mn(y1+y2)+n2=0，
∴-2pn（m²+1）+2pm²n+n²=0，
化為n=2p．
∴y1y2=-2p•2p=-4p2．因此不正確．
綜上：只有①②③正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的定義及其性質(zhì)，屬于中檔題．