Question

7．點(diǎn)集{（x，y）|||x|-1|+|y|=2}的圖形是一條封閉的折線，這條封閉折線所圍成的區(qū)域的面積是14．

Answer 1

分析 根據(jù)方程特點(diǎn)，判斷函數(shù)的對(duì)稱性根據(jù)對(duì)稱性求出方程在第一象限的面積即可得到結(jié)論．

解答 解：由于方程|||x|-1|+|y|=2 中，把x換成-x，方程不變，故方程表示的曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；
把y換成-y，方程也不變，故方程表示的曲線關(guān)于x軸及原點(diǎn)都對(duì)稱，
即點(diǎn)集{（x，y）|||x|-1|+|y|=2}的圖形關(guān)于x軸、y軸、及原點(diǎn)對(duì)稱．
先考慮曲線位于第一象限及坐標(biāo)軸上的情況．
令x≥0，y≥0，方程化為 y=2-|x|，表示線段AB 和BC，如圖所示：
 
曲線在第一象限內(nèi)圍成的圖形的面積等于直角梯形OABD的面積，加上直角三角形BDC的面積．
而直角梯形OABD的面積為$\frac{（1+2）×1}{2}$=$\frac{3}{2}$，直角三角形BDC的面積等于$\frac{1}{2}×2×2$=2，
故曲線在第一象限內(nèi)圍成的圖形的面積等于$\frac{3}{2}$+2=$\frac{7}{2}$，
故整條封閉折線所圍成的區(qū)域的面積是4×$\frac{7}{2}$=14，
故答案為：14

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．