Question

如圖，AE⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCD，點(diǎn)M在BC上，
（1）若AM⊥BD，求證AM⊥BC；
（2）若點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，且AB=AC=AE=CD=BD=3，BC=3

2

，求四棱錐B-AMDE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）在平面BCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DN⊥BC，垂足為N，由已知得DN⊥面ABC，由此能證明AM⊥BC．
（2）M點(diǎn)即為N點(diǎn)，從而DM⊥面ABC，四邊形AMDE為梯形，梯形面積S=

9

4

（

2

+1），BM=

3 2

2

即為所求四棱錐的高，由此能求出四棱錐B-AMDE的體積．

解答： （1）證明：在平面BCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DN⊥BC，垂足為N，
因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCD，兩平面的交線(xiàn)為BC，DN⊥BC，
所以DN⊥面ABC，
又AM?面ABC，所以AM⊥DN，
又AM⊥BD，BD∩DN=D，BD?面BCD，DN?面BCD，
所以AM⊥面BCD，
BC?面BCD，所以AM⊥BC．
（2）解：由于CD=BD，M為BC的中點(diǎn)，
所以DM⊥BC，M點(diǎn)即為（1）中的N點(diǎn)，
所以DM⊥面ABC，而AE⊥面ABC，
所以DM∥AE，由已知得DM=

3 2

2

，
所以四邊形AMDE為梯形，又AB=AC，
M為BC的中點(diǎn)，故AM即為梯形的高，
所以梯形面積S=

9

4

（

2

+1），
BM⊥AM，BM⊥DM，
BM=

3 2

2

即為所求四棱錐的高，
所以四棱錐B-AMDE的體積：
V=

1

3

Sh=

1

3

×

9

4

(

2

+1)×

3 2

2

=

9

8

(2+

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線(xiàn)垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．