Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=2a_n+1-1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$（n∈N⁺），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n+1-1（n∈N^*），利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$=2（n+1）$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n+1-1（n∈N^*），∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+1-1-（2a_n-1），化為：${a}_{n+1}=\frac{3}{2}{a}_{n}$，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為$\frac{3}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-1}$．
（2）b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$=2（n+1）$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2$[2+3×\frac{2}{3}$+4×$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（n+1）×（\frac{2}{3}）^{n-1}]$，
$\frac{2}{3}{T}_{n}$=2$[2×\frac{2}{3}+3×（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$n×（\frac{2}{3}）^{n-1}$+（n+1）×$（\frac{2}{3}）^{n}]$，
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}$=2$[2+\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}+…+（\frac{2}{3}）^{n-1}-$（n+1）×$（\frac{2}{3}）^{n}]$=2$[1+\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}-（n+1）×（\frac{2}{3}）^{n}]$=8-（2n+8）×$（\frac{2}{3}）^{n}$．
T_n=24-（6n+24）$（\frac{2}{3}）^{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．