Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{4x+a}{{x}^{2}+1}$在區(qū)間[m，n]上為增函數(shù)，且f（m）•f（n）=-4，當(dāng)f（n）-f（m）取得最小值時(shí)，a+m的值為-1．

Answer 1

分析 通過(guò)單調(diào)性可知f（m）＜0＜f（n），利用基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)f（n）=-f（m）=2時(shí)f（n）-f（m）=4，通過(guò)分別在f（n）=2、-f（m）=2中求出a的表達(dá)式，進(jìn)而可得確定a=0，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{4x+a}{{x}^{2}+1}$在區(qū)間[m，n]上為增函數(shù)，
∴f（m）＜f（n），
又∵f（m）•f（n）=-4，
∴f（m）＜0＜f（n），
由基本不等式可知，f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]
≥2$\sqrt{f（n）[-f（m）]}$
=2$\sqrt{-f（m）•f（n）}$
=4，當(dāng)且僅當(dāng)f（n）=-f（m）=2時(shí)取等號(hào)，
由f（n）=$\frac{4n+a}{1+{n}^{2}}$=2可知，a=2（n-1）²≥0，
由-f（m）=-$\frac{4m+a}{{m}^{2}+1}$=2可知，a=-2（m+1）²≤0，
從而a=0，m=-1，
于是a+m=0-1=-1，
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，涉及基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．