【題目】在四棱錐中,,,,,分別為的中點,.
(1)求證:平面平面;
(2)設(shè),若平面與平面所成銳二面角,求的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析; (2).
【解析】試題分析:(1) 求證:平面ABE⊥平面BEF, 只需證明一個平面過另一個平面的垂線即可, 注意到AB∥CD,CD⊥AD,AD = 2AB,而分別為的中點,可得四邊形ABCD為矩形,說明AB⊥BF,再證明AB⊥EF,由線面垂直的判定可得AB⊥面BEF,再根據(jù)面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF;(2)以A點為坐標(biāo)原點,AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系,利用平面法向量所成交與二面角的關(guān)系求出二面角的余弦值,根據(jù)給出的二面角的范圍得其余弦值的范圍,最后求解不等式可得a的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ),分別為的中點,
為矩形,2分
∵DE=EC,∴DC⊥EF,又AB∥CD,∴AB⊥EF
∵BF∩EF=F,∴AB⊥面BEF,又AE面ABE,
∴平面ABE⊥平面BEF. 4分
(Ⅱ),又,
又,所以面,6分
法一:建系為軸,為軸,為軸,
,,
平面法向量,平面法向量·9分
,可得. 12分
法二:連交于點,四邊形為平行四邊形,所以為的中點,連,
則,面,,
作于點,所以面,
連,則,即為所求 9分
在中,,
解得12 分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓: 的離心率為,以橢圓的左頂點為圓心作圓: ,設(shè)圓與橢圓交于點與點.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的最小值,并求此時圓的方程;
(3)設(shè)點是橢圓上異于, 的任意一點,且直線分別與軸交于點, 為坐標(biāo)原點,求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),在處有最小值為0.
(1)求的值;
(2)設(shè),
①求的最值及取得最值時的取值;
②是否存在實數(shù),使關(guān)于的方程在上恰有一個實數(shù)解?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù) (a>0),
若存在,使得成立,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),對x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.當(dāng)x1,x2∈[0,2],且x1≠x2時,都有<0,給出下列命題:
①f(2)=0;
②直線x=-4是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸;
③函數(shù)y=f(x)在[-4,4]上有四個零點;
④f(2 014)=0.
其中所有正確命題的序號為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),點在軸上,點在軸上,且,.
(1)當(dāng)點在軸上運動時,求點的軌跡的方程;
(2)設(shè)點是軌跡上的動點,點在軸上,圓內(nèi)切于,求的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著手機的發(fā)展,“微信”越來越成為人們交流的一種方式.某機構(gòu)對“使用微信交流”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機抽取了50人,他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”贊成人數(shù)如下表.
年齡(單位:歲) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(Ⅰ)若以“年齡45歲為分界點”,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān);
年齡不低于45歲的人數(shù) | 年齡低于45歲的人數(shù) | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
(Ⅱ)若從年齡在[25,35)和[55,65)的被調(diào)查人中按照分層抽樣的方法選取6人進(jìn)行追蹤調(diào)查,并給予其中3人“紅包”獎勵,求3人中至少有1人年齡在[55,65)的概率.
參考數(shù)據(jù)如下:
附臨界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
的觀測值: (其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一塊扇形鐵皮OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下來一個扇環(huán)形ABCD,作圓臺容器的側(cè)面,并且在余下的扇形OCD內(nèi)能剪下一塊與其相切的圓形使它恰好作圓臺容器的下底面(大底面).試求:
(1)AD應(yīng)取多長?
(2)容器的容積為多大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,
(1)當(dāng)時,求在區(qū)間上最大值和最小值;
(2)如果方程有三個不相等的實數(shù)解,求的取值范圍.
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