Question

【題目】已知函數，在處有最小值為0.

（1）求的值；

（2）設，

①求的最值及取得最值時的取值；

②是否存在實數，使關于的方程在上恰有一個實數解？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由二次函數的性質，得到頂點式，求出的值；（2）令，利用復合函數的性質得到的最值及對應的的取值； ，整理得，利用二次函數的根的分布，因為恰有一個實數解，根據的性質，則有兩個相等的大于1的根或有兩個不相等的根， ，結合二次函數圖象寫出約束條件，解出答案。

試題解析：

（1），所以，得.

（2），①令，則， 在遞減， 遞增，所以，此時， ，此時.

②令，則，即

，

方程有兩個相等的大于1的根，則，得；

方程有兩個根， ，則，得無解，

綜上所述，存在這樣的.