Question

14．設點P在曲線y=e^x上，點Q在曲線y=lnx上，則|PQ|的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 考慮到兩曲線關于直線y=x對稱，求丨PQ丨的最小值可轉化為求P到直線y=x的最小距離，再利用導數(shù)的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，由點到直線的距離公式即可得到最小值..

解答 解：∵曲線y=e^x（e自然對數(shù)的底數(shù)）與曲線y=lnx互為反函數(shù)，其圖象關于y=x對稱，
故可先求點P到直線y=x的最近距離d，
設曲線y=e^x上斜率為1的切線為y=x+b，
∵y′=e^x，由e^x=1，得x=0，
故切點坐標為（0，1），即b=1，
∴d=$\frac{1}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴丨PQ丨的最小值為2d=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的對稱性，導數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程的求法，轉化化歸的思想方法．