Question

2．已知函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{a}+\frac{2}{x}（x＞0）$
（1）判斷f（x）在（0，+∞）上的增減性，并證明你的結(jié)論    
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用定義法進(jìn)行證明，設(shè)x₁＞x₂＞0，作差可得：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，結(jié)合x₁、x₂的范圍，分析f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，即可得證明；
（2）根據(jù)題意，分a＞0與a＜0兩種情況討論，分別求出x的取值范圍，綜合可得答案．

解答 解：（1）f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
證明：設(shè)x₁＞x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{{x}_{2}}$）=$\frac{2}{{x}_{1}}$-$\frac{2}{{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
又由x₁＞x₂＞0，
則有f（x₁）-f（x₂）＜0；
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（2）f（x）＞0，即-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{x}$＞0，
變形可得：$\frac{2}{x}$＞$\frac{1}{a}$，
當(dāng)a＜0時(shí)，$\frac{1}{a}$＜0，其解集為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，$\frac{1}{a}$＞0，
則有x＜2a，即此時(shí)不等式的解集為（0，2a）
故不等式f（x）＞0的解集為$\left\{\begin{array}{l}{（0，+∞），a＜0}\\{（0，2a），a＞0}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判定與單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵掌握定義法證明函數(shù) 單調(diào)性的步驟．