Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n=a${\;}_{n-1}^{2}$（n≥2），求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 把已知遞推式兩邊取對數(shù)，可得數(shù)列{lga_n}是以lga₁=lg2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項公式后，利用對數(shù)的運算性質(zhì)求得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：由a₁=2，a_n=a${\;}_{n-1}^{2}$（n≥2），可得a_n＞0，
把a_n=a${\;}_{n-1}^{2}$兩邊取對數(shù)，得lga_n=2lga_n-1，
∴$\frac{lg{a}_{n}}{lg{a}_{n-1}}=2$．
∴數(shù)列{lga_n}是以lga₁=lg2為首項，以2為公比的等比數(shù)列．
則$lg{a}_{n}={2}^{n-1}•lg2$．
∴${a}_{n}=1{0}^{{2}^{n-1}•lg2}$=$1{0}^{lg{2}^{{2}^{n-1}}}$=${2}^{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，把已知遞推式兩邊取對數(shù)是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．