Question

18．求拋物線y²=4x上的點(diǎn)P與A（m，0）（m∈R）的距離d的最小值．

Answer 1

分析 先設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的表達(dá)式；再結(jié)合二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值求法即可求出點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的最小值．

解答 解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則d=|PM|=$\sqrt{（{x-m）}^{2}+（y-0）^{2}}$
=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2mx+{m}^{2}}$
=$\sqrt{{x}^{2}+（4-2m）x+{m}^{2}}$（x≥0）
令t=x²+（4-2m）x+m²（x≥0）則其對(duì)稱軸為x=m-2，
（1）當(dāng)m-2＜0即m＜2時(shí)
t=x²+（4-2m）x+m²在x≥0時(shí)為增函數(shù)，
所以d_min=|m|=m．
（2）當(dāng)m-2≥0即m≥2時(shí)，
t=x²+（4-2m）x+m²（x≥0）在（0，m-2）上遞減，在（m-2，+∞）上遞增，
所以：d_min=$\sqrt{{（m-2）}^{2}+（4-2m）（m-2）+{m}^{2}}$=$2\sqrt{m-1}$．
綜上所述，當(dāng)m＜2，點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的最小值為m；
當(dāng)m≥2，點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的最小值為$2\sqrt{m-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值求法．在求二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值時(shí)，一定要注意分對(duì)稱軸在區(qū)間左邊，對(duì)稱軸在區(qū)間右邊以及對(duì)稱軸在區(qū)間中間三種情況來討論，以免出錯(cuò)．