Question

已知函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，當x＞0時，有f（x）=x+

4

x

-1；且當x∈[-3，-1]時f（x）的值域是[n，m]，則m-n的值是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的對稱性和單調(diào)性之間的關(guān)系，得到x∈[1，3]時f（x）的值域是[-m，-n]，然后根據(jù)函數(shù)的表達式即可求解，m，n的值．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，且當x∈[-3，-1]時f（x）的值域是[n，m]，
∴根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知當x∈[1，3]時f（x）的值域是[-m，-n]，
當x＞0時，有f（x）=x+

4

x

-1，則f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，3]上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)的最小值為f（2）=2+2-1=3，即-m=3，
解得m=-3．
又f（1）=1+4-1=4，f（3）=3+

4

3

-1=3

1

3

＜f（1），
∴f（x）的最大值為f（1）=4，
即-n=4，解得n=-4，
∴m-n=-3-（-4）=1．
故答案為：1．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)y=x+

a

x

，a＞0的單調(diào)性的應(yīng)用．