Question

已知二次函數f（x）滿足f（0）=2，且f(x+1)-f(x)=-x-

1

2

．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）等腰梯形ABCD與函數y=f（x），x∈[-2，2]的圖象相切，底邊CD在x軸上（如圖），試求等腰梯形ABCD面積的最小值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,二次函數的性質

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：（1）設f（x）=ax²+bx+c，利用f（0）=2，且f(x+1)-f(x)=-x-

1

2

，建立方程，求出a，b，c，即可得出函數f（x）的表達式；
（2）求出直線BC的方程，可得B，C的橫坐標，進而得到梯形的上底、下底及高，代入梯形面積公式，利用基本不等式求出最值即可得到答案．

解答： 解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=2，且f(x+1)-f(x)=-x-

1

2

，
∴c=2，a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b，
∴2a=-1，a+b=-

1

2

，
∴a=-

1

2

，b=0，
∴f（x）=-

1

2

x2+2；
（2）設梯形ABCD的面積為S，點P的坐標為（t，-

1

2

t2+2）（0＜t≤2）．
∵f（x）=-

1

2

x2+2，
∴f′（x）=-x，
∴直線BC的斜率為-t，
∴直線BC的方程為y-（-

1

2

t2+2）=-t（x-t），
即：y=-tx+

1

2

t2+2），
令y=0得，C的橫坐標為

1

2

t+

2

t

．
令y=2得，B的橫坐標為

1

2

t，
∴S=2t+

4

t

≥2

8

=4

2

，
當且僅當2t=

4

t

，即t=

2

時取得最小值．
∴梯形ABCD的面積最小值為4

2

．

點評：本題考查二次函數的圖象與性質，其中根據函數的解析式，求出導函數，進而求出過切點P的切線方程，是解答本題關鍵．