Question

某學(xué)校要建造一個(gè)面積為10 000平方米的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)．如圖，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)是由一個(gè)矩形ABCD和分別以AD、BC為直徑的兩個(gè)半圓組成．跑道是一條寬8米的塑膠跑道，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)除跑道外，其他地方均鋪設(shè)草皮．已知塑膠跑道每平方米造價(jià)為150元，草皮每平方米造價(jià)為30元．

(1)設(shè)半圓的半徑OA＝r(米)，設(shè)建立塑膠跑道面積S與r的函數(shù)關(guān)系S(r)；

(2)由于條件限制r∈[30,40]，問(wèn)當(dāng)r取何值時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)造價(jià)最低？最低造價(jià)為多少？(精確到元)

Answer 1

解析　(1)塑膠跑道面積

S＝π[r²－(r－8)²]＋8××2

＝＋8πr－64π.

∵πr²＜10 000，∴0＜r＜.

(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的造價(jià)為y元，

y＝150×

＋30×

＝300 000＋120×－7 680π.

令f(r)＝＋8πr，

∵f′(r)＝8π－，

當(dāng)r∈[30,40]時(shí)，f′(r)＜0，

∴函數(shù)y＝300 000＋120×－7 680π

在[30,40]上為減函數(shù)．

∴當(dāng)r＝40時(shí)，y_min≈636 510，

即運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的造價(jià)最低為636 510元．