Question

某學(xué)校要建造一個面積為10 000平方米的運動場．如圖，運動場是由一個矩形ABCD和分別以AD、BC為直徑的兩個半圓組成．跑道是一條寬8米的塑膠跑道，運動場除跑道外，其他地方均鋪設(shè)草皮．已知塑膠跑道每平方米造價為150元，草皮每平方米造價為30元．

(1)設(shè)半圓的半徑OA＝r(米)，設(shè)建立塑膠跑道面積S與r的函數(shù)關(guān)系S(r)；

(2)由于條件限制r∈[30,40]，問當(dāng)r取何值時，運動場造價最低？最低造價為多少？(精確到元)

Answer 1

解析　(1)塑膠跑道面積

S＝π[r²－(r－8)²]＋8××2

＝＋8πr－64π.

∵πr²＜10 000，∴0＜r＜.

(2)設(shè)運動場的造價為y元，

y＝150×

＋30×

＝300 000＋120×－7 680π.

令f(r)＝＋8πr，

∵f′(r)＝8π－，

當(dāng)r∈[30,40]時，f′(r)＜0，

∴函數(shù)y＝300 000＋120×－7 680π

在[30,40]上為減函數(shù)．

∴當(dāng)r＝40時，y_min≈636 510，

即運動場的造價最低為636 510元．