【題目】已知,,點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.

（1）求軌跡的方程；

（2）若直線過點(diǎn)且與軌跡交于、兩點(diǎn).

（i）無論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動，在軸上總存在定點(diǎn)，使恒成立，求實(shí)數(shù)的值.

（ii）在（i）的條件下，求面積的最小值.

【答案】（1）（2）（i）（ii）9

【解析】

（1）利用雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出；（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=k（x-2），P，Q，與雙曲線方程聯(lián)立消y得，利用根與系數(shù)的關(guān)系、判別式解出即可得出．（i）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；（ii）利用點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式即可得出

（1）由知，點(diǎn)P的軌跡E是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線右支，由，故軌跡E的方程為

（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消y得，

解得k2 >3

（i）

，

故得對任意的恒成立，

∴當(dāng)m =－1時，MP⊥MQ.

當(dāng)直線l的斜率不存在時，由知結(jié)論也成立，

綜上，當(dāng)m =－1時，MP⊥MQ.

（ii）由（i）知，，當(dāng)直線l的斜率存在時，

， M點(diǎn)到直線PQ的距離為，則

∴

令，則，因?yàn)?/span>

所以

當(dāng)直線l的斜率不存在時，

綜上可知，故的最小值為9.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)f（x）與g（x）和區(qū)間D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，則稱x0是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間D上的“友好點(diǎn)”．現(xiàn)給出兩個函數(shù)：
①f（x）=x2 ， g（x）=2x﹣2；② ，g（x）=x+2；
③f（x）=e﹣x ， ；④f（x）=lnx，g（x）=x．
則在區(qū)間（0，+∞）上存在唯一“友好點(diǎn)”的是 ． （填上所有正確的序號）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知的頂點(diǎn)，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=x﹣2，g（x）=2x﹣5，則不等式|f（x）|+|g（x）|≤2的解集為；|f（2x）|+|g（x）|的最小值為 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】先把函數(shù)y=sin（x+φ）的圖象上個點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的 （縱坐標(biāo)不變），再向右平移 個單位，所得函數(shù)關(guān)于y軸對稱，則φ的值可以是（ ）
A.
B.
C.-
D.-

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】手機(jī)給人們的生活帶來便利的同時，也給青少年的成長帶來不利的影響，有人沉迷于手機(jī)游戲無法自拔，嚴(yán)重影響了自己的學(xué)業(yè)，某學(xué)校隨機(jī)抽取個班，調(diào)查各班帶手機(jī)來學(xué)校的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．以組距為將數(shù)據(jù)分組成，，…，，時，所作的頻率分布直方圖是（ ）

A. B.

C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，⊥底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．

(1)（理科生做）證明：；

（文科生做）證明：；

(2)（理科生做）若為棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值．

（文科生做）求點(diǎn)到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（2）=1，且對于任意的x∈R，都有f′（x）＜ ，則不等式f（log2x）＞ 的解集為 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）的離心率是 ，過E的右焦點(diǎn)且垂直于橢圓長軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0， ）的動直線l與橢圓E交于的兩點(diǎn)M，N（不是的橢圓頂點(diǎn)），是否存在實(shí)數(shù)λ，使 +λ 為定值？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案