【題目】已知橢圓E: =1(a>b>0)的離心率是 ,過E的右焦點且垂直于橢圓長軸的直線與橢圓交于A,B兩點,|AB|=2.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)過點P(0, )的動直線l與橢圓E交于的兩點M,N(不是的橢圓頂點),是否存在實數(shù)λ,使 +λ 為定值?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)由橢圓的離心率e= = = ,則a2=2b2 , ①
則丨AB丨= =2,則b2=a,②
解得:a=2,b= ,
∴橢圓的標準方程為: ;
(Ⅱ)當直線AB的斜率存在時,設直線AB的方程為y=kx+ ,M(x1 , y1),N(x2 , y2),
聯(lián)立 ,得(1+2k2)x2+4 kx+2=0,△=(4 k)2﹣4×(1+2k2)×2>0,解得:k2> ,
由韋達定理可知:x1+x2=﹣ ,x1x2= ,從而, +λ =x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1﹣ )(y2﹣ )],
=(1+λ)(1+k2)x1x2+ k(x1+x2)+3,
=(1+λ)(1+k2)× + k×(﹣ )+3,
= ,
=﹣(1﹣λ)+ ,
∴當λ=﹣2時,﹣(1﹣λ)+ =﹣3,此時 +λ =﹣3,
故存在常數(shù)λ=﹣2,使得 +λ 為定值﹣3.
【解析】(Ⅰ)由題意的離心率求得a2=2b2 , 橢圓的通徑丨AB丨= =2,即可求得a和b的值,求得橢圓的標準方程;(Ⅱ)設直線l的方程,y=kx+ ,代入橢圓方程,利用韋達定理定理及向量數(shù)量積的坐標運算,表示出 +λ =﹣(1﹣λ)+ ,則當λ=﹣2時,﹣(1﹣λ)+ =﹣3,則存在實數(shù)λ,使 +λ 為定值
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點,需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能正確解答此題.
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【題目】已知,,點滿足,記點的軌跡為.
(1)求軌跡的方程;
(2)若直線過點且與軌跡交于、兩點.
(i)無論直線繞點怎樣轉動,在軸上總存在定點,使恒成立,求實數(shù)的值.
(ii)在(i)的條件下,求面積的最小值.
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【題目】如圖,建立平面直角坐標系,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1 km,某炮位于原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx- (1+k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.則炮的最大射程為( )
A. 20 km B. 10 km
C. 5 km D. 15 km
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【題目】在數(shù)列中,已知,對于任意的,有.
(1)求數(shù)列的通項公式.
(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式.
(3)設,是否存在實數(shù),當時,恒成立?若存在,求實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】設f(x)= (x>0),計算觀察以下格式: f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),f3(x)=f(f2(x)),f4(x)=f(f3(x)),…
根據(jù)以上事實得到當n∈N*時,fn(1)= .
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【題目】已知一次函數(shù)f(x)=ax-2.
(1)當a=3時,解不等式|f(x)|<4;
(2)解關于x的不等式|f(x)|<4;
(3)若關于x的不等式|f(x)|≤3對任意x∈[0,1]恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】對某校高一年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計,隨機抽取M名學生作為樣本,得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 25 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合計 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及圖中a的值;
(2)若該校高一學生有360人,試估計該校高一學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間[15,20)內的人數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人,請列舉出所有基本事件,并求至多1人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間[20,25)內的概率.
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