Question

已知函數(shù)f（x）=2sin

x

2

cos

x

2

+cosx，其中x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）把函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移

1

3

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，將函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2π，2π]上的所有零點(diǎn)按從小到大的順序分別記x₁，x₂，…x_n，分別求出n的值和x₁+x₂+…+x_n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn) f（x）為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，由周期公式求得函數(shù)的周期．利用正弦函數(shù)的值域求解函數(shù)的值域．
（Ⅱ）求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，依次求出函數(shù)的四個(gè)零點(diǎn)，求解和即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2sin

x

2

cos

x

2

+cosx=

2

(

2

2

sinx+

2

2

cosx)=

2

sin(x+

π

4

)
∴函數(shù)的最小正周期為：T=2π，
∵x∈R∴-1≤sin（x+

π

4

)≤1≤1，
∴函數(shù)f（x）的值域是[-

2

，

2

]．
（Ⅱ）由題意可得函數(shù)g（x）=

2

sin(x+

π

4

+

π

4

)-

1

3

=

2

cosx-

1

3

，
對(duì)任意x[-2π，2π]，
函數(shù)g（-x）=

2

cos(-x)-

1

3

=

2

cosx-

1

3

=g（x），
∴g（x）是偶函數(shù)，
∵g（0）＞0，g（π）＜0．
∴g（x）在[0，π]上有一個(gè)零點(diǎn)x₁，
又g（x）在[0，π]上是減函數(shù)，
∴g（x）在[0，π]上只有一個(gè)零點(diǎn)，
同理g（x）在[π，2π]上有一個(gè)零點(diǎn)x₂，
函數(shù)是偶函數(shù)g（x）在[-π，0]與[-2π，-π]上各有一個(gè)零點(diǎn)x₃，x₄，
并且x₂=-x₃，x₁=-x₄，
函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2π，2π]上的有4個(gè)零點(diǎn)，
并且x₁+x₂+x₃+x₄=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性和周期性，y=Asin（ωx+∅）的圖象的變換，函數(shù)的零點(diǎn)的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．