Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（ax²+2x+1）．
（1）若a=

1

2

，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用對數(shù)的真數(shù)大于0，求解二次不等式即可．
（2）函數(shù)f（x）=log_a（ax²+2x+1）的定義域為R，則真數(shù)恒大于0，推出不等式組求解即可．

解答： 解：（1）a=

1

2

，函數(shù)f（x）=log

1

2

(

1

2

x2+2x+1)，
∵

1

2

x2+2x+1＞0，∴x²+4x+4＞2，解得：x＞

2

-2或x＜-

2

-2．
函數(shù)的定義域：{x|x＞

2

-2或x＜-

2

-2}．
（2）∵函數(shù)f（x）=log_a（ax²+2x+1）的定義域為R，
∴說明對任意的實數(shù)x，都有ax²+2x+1＞0成立，
顯然a＞0時，需要

a＞0 4-4a＜0

，解得1＜a．
綜上，函數(shù)f（x）=log_a（ax²+2x+1）的定義域為R的實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了分類討論的數(shù)學思想方法和運算求解的能力，屬于中檔題．