Question

（本小題滿分12分）已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)．

（Ⅰ）若，求點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）點(diǎn)的軌跡方程為（．（Ⅱ）．

【解析】本試題主要是考查了圓錐曲線中軌跡方程的求解，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合而運(yùn)用，研究線段的比值問題。

（1）根據(jù)題意點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線與橢圓相交得到A,B點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系式，從而的得到軌跡方程

（2）利用直線方程與曲線方程聯(lián)立，得到弦長(zhǎng)公式，表示出線段比值。

解（Ⅰ）①若直線∥軸，則點(diǎn)為； ②設(shè)直線，并設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

，由消去，得 ， ①

由直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，即，所以．

由及方程①，得，

，

即由于（否則，直線與橢圓無(wú)公共點(diǎn)），將上方程組兩式相除得，，

代入到方程，得，整理，得（．

綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為（．

（Ⅱ）①當(dāng)∥軸時(shí)，分別是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則點(diǎn)在原點(diǎn)處，所以，，所以，； ②由方程①，得

所以，，

，

所以． 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415111577389062/SYS201208241511547996631931_DA.files/image023.png">，所以，所以，

所以．綜上所述，．