Question

函數(shù)f（x）=4sin（

2x

3

+

π

6

）-3．
（1）當x∈[0，π]，求f（x）的值域；
（2）求f（x）的增區(qū)間；
（3）說明函數(shù)f（x）=4sin（

2x

3

+

π

6

）-2是由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的？

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得當x∈[0，π]，求f（x）的值域．
（2）令2kπ-

π

2

≤

2x

3

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間．
（3）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結論．

解答： 解：（1）當x∈[0，π]，

2x

3

+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，∴sin（

2x

3

+

π

6

）∈[

1

2

，1]，
故函數(shù)f（x）=4sin（

2x

3

+

π

6

）-3的值域為[-1，1]．
（2）令2kπ-

π

2

≤

2x

3

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得3kπ-π≤x≤3kπ+

π

2

，故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[3kπ-π，3kπ+

π

2

]，k∈z．
（3）把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

π

6

個單位，可得函數(shù)y=sin（x+

π

6

）的圖象；
再把所得圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="ilsk0j0" class="MathJye">

3

2

倍，可得函數(shù)y=sin（

2

3

x+

π

6

）的圖象；
再把所得圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得函數(shù)y=4sin（

2

3

x+

π

6

）的圖象；
再把所得圖象向下平移3個單位，可得函數(shù)y=4sin（

2

3

x+

π

6

）-3的圖象．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．