Question

已知：點P為線段AB上的動點（與A，B兩點不重合）．在同一平面內(nèi)，把線段AP，BP分別折成△CDP，△EFP，其中∠CDP=∠EFP=90°，且D，P，F(xiàn)三點共線，如圖所示．
（1）若△CDP，△EFP均為等腰三角形，且DF=2，求AB的長．
（2）若，且以C，D，P為頂點的三角形和以E，F(xiàn)，P為頂點的三角形相似，求四邊形CDFE的面積的最小值．

Answer 1

解：（1）設DP=x，PF=y…（1分）
∵△CDP和△EFP都是等腰直角三角形，且∠CDP=∠EFP=90°，
∴CD=DP=x，EF=PF=y，PC=y．
∴AB=AP+PB=CD+DP+PC+PF+EF+PE=x+x+y=（2+）（x+y）．
∵DF=2，∴x+y=2…（3分）
∴AB=（2+）×2=4+2．…（5分）
（2）連接CE
由于tan∠C=，且以C，D，P為頂點的三角形和以E，F(xiàn)，P為頂點的三角形相似，因此分兩種情況考慮：
當∠DCP=∠FEP時，設DP=4m，PF=4n，則CD=3m，EF=3n，
根據(jù)勾股定理，可得CP=5m，PE=5n，
∵AB=12（m+n）=12，∴m+n=1．…（7分）
∴S_{四邊形CDFE}=）=6（m+n）²=6…（9分）
當∠DCP=∠FPE時，設DP=4m，PF=3n，則CD=3m，EF=4n．
根據(jù)勾股定理，可得CP=5m，PE=5n．
∵AB=12（m+n）=12，∴m+n=1．
∵m＞0，n＞0，∴S_{四邊形CDFE}=）=）=]=）=6+mn＞6…（11分）
綜上所述，四邊形CDFE的面積的最小值為6…（12分）
分析：（1）不妨設DP=x，PF=y，由△CDP和△EFP都是等腰直角三角形，且∠CDP=∠EFP=90°，可求得PC，PE，由DF=2，可求AB的長；
（2）根據(jù)tan∠C=，且以C，D，P為頂點的三角形和以E，F(xiàn)，P為頂點的三角形相似，可分當∠DCP=∠FEP與當∠DCP=∠FPE兩種情況討論，利用勾股定理與不等式解決．
點評：本題考查三角形中的計算，難點在于（2）中需分∠DCP=∠FEP與∠DCP=∠FPE兩種情況解決，著重考查學生分析問題與綜合運用知識解決問題的能力，屬于難題．