Question

已知：點P為線段AB上的動點（與A，B兩點不重合）．在同一平面內(nèi)，把線段AP，BP分別折成△CDP，△EFP，其中∠CDP=∠EFP=90°，且D，P，F(xiàn)三點共線，如圖所示．
（1）若△CDP，△EFP均為等腰三角形，且DF=2，求AB的長．
（2）若AB=12，tan∠C=

4

3

，且以C，D，P為頂點的三角形和以E，F(xiàn)，P為頂點的三角形相似，求四邊形CDFE的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）不妨設(shè)DP=x，PF=y，由△CDP和△EFP都是等腰直角三角形，且∠CDP=∠EFP=90°，可求得PC，PE，由DF=2，可求AB的長；
（2）根據(jù)tan∠C=

4

3

，且以C，D，P為頂點的三角形和以E，F(xiàn)，P為頂點的三角形相似，可分當(dāng)∠DCP=∠FEP與當(dāng)∠DCP=∠FPE兩種情況討論，利用勾股定理與不等式解決．

解答：解：（1）設(shè)DP=x，PF=y…（1分）
∵△CDP和△EFP都是等腰直角三角形，且∠CDP=∠EFP=90°，
∴CD=DP=x，EF=PF=y，PC=

2

x，PE=

2

y．
∴AB=AP+PB=CD+DP+PC+PF+EF+PE=x+x+

2

x+y+y+

2

y=（2+

2

）（x+y）．
∵DF=2，∴x+y=2…（3分）
∴AB=（2+

2

）×2=4+2

2

．…（5分）
（2）連接CE
由于tan∠C=

4

3

，且以C，D，P為頂點的三角形和以E，F(xiàn)，P為頂點的三角形相似，因此分兩種情況考慮：
當(dāng)∠DCP=∠FEP時，設(shè)DP=4m，PF=4n，則CD=3m，EF=3n，
根據(jù)勾股定理，可得CP=5m，PE=5n，
∵AB=12（m+n）=12，∴m+n=1．…（7分）
∴S_{四邊形CDFE}=

1

2

(3m+3n)(4m+4n）=6（m+n）²=6…（9分）
當(dāng)∠DCP=∠FPE時，設(shè)DP=4m，PF=3n，則CD=3m，EF=4n．
根據(jù)勾股定理，可得CP=5m，PE=5n．
∵AB=12（m+n）=12，∴m+n=1．
∵m＞0，n＞0，∴S_{四邊形CDFE}=

1

2

(3m+4n)(4m+3n）=

1

2

(12m2+25mn+12n2）=

1

2

[12(m+n)2+mn]=

1

2

(12+mn）=6+

1

2

mn＞6…（11分）
綜上所述，四邊形CDFE的面積的最小值為6…（12分）

點評：本題考查三角形中的計算，難點在于（2）中需分∠DCP=∠FEP與∠DCP=∠FPE兩種情況解決，著重考查學(xué)生分析問題與綜合運用知識解決問題的能力，屬于難題．