【題目】設(shè)函數(shù).

處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行,求的值;

討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

若函數(shù)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,證明.

【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為0,,單調(diào)遞減區(qū)間為,+).(詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析:由導(dǎo)數(shù)幾何意義得處的導(dǎo)數(shù)值等于切線(xiàn)斜率,即,而,解得因?yàn)?/span>,所以根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號(hào)進(jìn)行討論:當(dāng)時(shí), >0,遞增區(qū)間為0,+).當(dāng)時(shí),導(dǎo)函數(shù)有一零點(diǎn),列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可得:?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為0,,單調(diào)遞減區(qū)間為,+).(先化簡(jiǎn)所證不等式:要證,即證,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與x軸有兩交點(diǎn),所以,所以需證:.利用A,B兩點(diǎn)在上得,代入化簡(jiǎn)得只需證,令,構(gòu)造,利用導(dǎo)數(shù)可得gt0,+上是增函數(shù),即gt< g1=0,從而得證

試題解析:I由題知的定義域?yàn)?/span>0,+,

.

fx的圖象在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行,

,

解得. …………4分

,

由x>0,知>0.

當(dāng)a0時(shí),對(duì)任意x>0,>0,

函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,+).

當(dāng)a<0時(shí),令=0,解得,

當(dāng)時(shí),>0,當(dāng)時(shí),<0,

函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,,單調(diào)遞減區(qū)間為,+). 9分

不妨設(shè)A,0,B,0,且,由,

于是要證<0成立,只需證:.

,

,

-,

,

,

故只需證,

即證明

即證明,變形為,

設(shè),令,

顯然當(dāng)t>0時(shí),0,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),=0,

gt0,+上是增函數(shù).

g1=0,

當(dāng)t0,1時(shí),gt<0總成立,命題得證. ……………14分

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)試確定圖中的值;

)若將等級(jí)A、BC、D依次按照分、80分、60分、50分轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù),試分別估計(jì)兩校學(xué)生國(guó)學(xué)成績(jī)的均值;

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(3)為了研究邊長(zhǎng)滿(mǎn)足的三角形其面積是否存在最大值,現(xiàn)有解法如下:(其中, 三角形面積的海倫公式),

,,,則

但是,其中等號(hào)成立的條件是,于是矛盾,

所以,此三角形的面積不存在最大值.

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