Question

7．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，
（1﹚求證：$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{sin（A-B）}{sinC}$
﹙2﹚若b=acosC，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）已知等式左邊利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式變形，整理即可得證；
（2）利用余弦定理表示出cosC，代入已知等式化簡(jiǎn)，再利用勾股定理即可判斷出三角形形狀．

解答 （1）證明：由正弦定理得：$\frac{a}{c}$=$\frac{sinA}{sinC}$，$\frac{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$，
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}A}{si{n}^{2}C}$-$\frac{si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}$=$\frac{\frac{1-cos2A}{2}-\frac{1-cos2B}{2}}{si{n}^{2}C}$
=$\frac{cos2B-cos2A}{2si{n}^{2}C}$=$\frac{cos[（A+B）-（A-B）]-cos[（A+B）+（A-B）]}{2si{n}^{2}C}$
=$\frac{cos（A+B）cos（A-B）+sin（A+B）sin（A-B）-cos（A+B）cos（A-B）+sin（A+B）sin（A-B）}{2si{n}^{2}C}$
=$\frac{2sin（A+B）sin（A-B）}{2si{n}^{2}C}$=$\frac{sin（A-B）}{sinC}$；
（2）解：∵cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，b=acosC，
∴b=a•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2b}$，
整理得：b²+c²=a²，
∴A為直角，
則△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及勾股定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．