Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$滿足：|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61；
（1）求向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的模；
（2）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，作三角形ABC，點(diǎn)P是三角形ABC所在平面上任意一點(diǎn)，求（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PA}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可得出；
（2）如圖，以AC所在直線為x軸，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，與AC垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．由（1）知∠BAC=120°．（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PA}$=2x²-x+$2{y}^{2}-2\sqrt{3}y$=$2[（x-\frac{1}{4}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}]$-$\frac{13}{8}$，即可得出．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61，
∴$4{\overrightarrow{a}}^{2}-3{\overrightarrow}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow=64-27-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow=61$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-6$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{16-12+9}=\sqrt{13}$；
（2）如圖，以AC所在直線為x軸，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，與AC垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
由（1）知cos∠BAC=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{-6}{4×3}$=-$\frac{1}{2}$；
∴∠BAC=120°．
則C（3，0），B$（-2，2\sqrt{3}）$，
設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{PB}$=$（-2-x，2\sqrt{3}-y）$，$\overrightarrow{PC}$=（3-x，-y），$\overrightarrow{PA}$=（-x，-y）．
∴（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PA}$=2x²-x+$2{y}^{2}-2\sqrt{3}y$
=$2[（x-\frac{1}{4}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}]$-$\frac{13}{8}$≥$-\frac{13}{8}$，當(dāng)且僅當(dāng)取P$（\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$取等號(hào)．
∴（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PA}$的最小值為$-\frac{13}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式、配方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．