Question

【題目】如圖所示的多面體中，四邊形ABCD為菱形，，，面ABCD，，，異面直線AF，CD所成角的余弦值為．

Ⅰ求證：面面EDB；

Ⅱ求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ).

【解析】

Ⅰ推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而面EBD，由此能證明面面EDB;Ⅱ推導(dǎo)出四邊形EFOD是平行四邊形，從而，由面ABCD，得面ABCD，以O為原點(diǎn)，OA，OB，OF分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

Ⅰ四邊形ABCD是菱形，，

面ABCD，面ABCD，，

，面EBD，

面ACF，面面EDB．

Ⅱ四邊形ABCD是菱形，，，

，，

，，，，

四邊形EFOD是平行四邊形，，

面ABCD，面ABCD，

以O為原點(diǎn)，OA，OB，OF分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，0，，設(shè)0，，

則，，

，，

解得，則0，，1，，

1，，，，，

設(shè)平面AFB的法向量y，，

則，取，得，

設(shè)平面AFE的法向量y，，

則，取，得0，，

設(shè)二面角的平面角為，由圖形得為鈍角，

則．

二面角的余弦值為．