Question

命題P：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為空集．命題Q：函數(shù)y=（2a²-a）^x為增函數(shù)．P、Q中有且只有一個(gè)是真命題，求a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：

分析：由命題P：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為空集．可得△＜0．由命題Q：函數(shù)y=（2a²-a）^x為增函數(shù)．可得2a²-a＞1．由于P、Q中有且只有一個(gè)是真命題，則必然一真一假，分類討論即可得出．

解答： 解：由命題P：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為空集．∴△=（a-1）²-4a²＜0，解得a＞

1

3

或a＜-1．
由命題Q：函數(shù)y=（2a²-a）^x為增函數(shù)．∴2a²-a＞1，解得a＞1或a＜-

1

2

．
∵P、Q中有且只有一個(gè)是真命題，
∴當(dāng)P真Q假時(shí)，

a＞ 1 3 或a＜-1 - 1 2 ≤a≤1

，解得

1

3

＜a≤1．
當(dāng)Q真P假時(shí)，

-1≤a≤ 1 3 a＞1或a＜- 1 2

，解得-1≤a＜-

1

2

．
綜上可得：a的取值范圍是：

1

3

＜a≤1，或 -1≤a＜-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合命題的真假，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．