Question

已知函數(shù)y=4cos²x-4

3

sinxcosx-1（x∈R）．
（1）求出函數(shù)的最小正周期；
（2）求出函數(shù)的最大值及其相對(duì)應(yīng)的x值；
（3）求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（4）求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用二倍角的正弦、余弦公式，以及兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式化為y=-4sin(2x-

π

6

)+2，
（1）根據(jù)最小正周期公式T=

2π

|ω|

求解；
（2）根據(jù)解析式知：當(dāng)sin(2x-

π

6

)=-1時(shí)，函數(shù)取最大值，求出原函數(shù)的最大值和對(duì)應(yīng)的x的值；
（3）根據(jù)解析式知：原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為正弦函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，即

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），求解即可；
（4）根據(jù)正弦函數(shù)得對(duì)稱(chēng)軸得2x-

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z），求解即可．

解答： 解：y=4cos²x-4

3

sinxcosx-1=4×

1+cos2x

2

-2

3

sin2x
=2cos2x-2

3

sin2x+2=-4sin(2x-

π

6

)+2
（1）函數(shù)的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）當(dāng)sin(2x-

π

6

)=-1時(shí)，函數(shù)取最大值為：6，
此時(shí)2x-

π

6

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），解得x=-

π

6

+kπ（k∈Z）；
（3）由

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）得，

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ（k∈Z），
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]（k∈Z）；
（4）由2x-

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z）得，x=

π

3

+

kπ

2

（k∈Z），
∴函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程是x=

π

3

+

kπ

2

（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)和三角恒等變換，涉及的公式有：二倍角的正弦、余弦公式，以及兩角和與差的正弦公式，其中靈活利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的三角函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，注意化簡(jiǎn)解析式是一定要把ω化為正的．