已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
2
2
且與拋物線y2=4x有公共焦點(diǎn)F2
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓交于M、N兩點(diǎn),直線F2M與F2N傾斜角互補(bǔ).證明:直線l過定點(diǎn),并求該點(diǎn)坐標(biāo).
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)由已知條件得
c
a
=
2
2
c=1
,由此能求出橢圓方程.
(Ⅱ)由題意知直線MN存在斜率,其方程為y=kx+m,聯(lián)立方程
x2
2
+y2=1
y=kx+m
,得
(2k2+1)x2+4kmx+m2-2=0,
設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),由直線F2M與F2N的傾斜角互補(bǔ),得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0,由此利用韋達(dá)定理推導(dǎo)出直線MN過點(diǎn)(2,0).
解答: (Ⅰ)解:∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
2
2
,
且與拋物線y2=4x有公共焦點(diǎn)F2
c
a
=
2
2
c=1
,解得a2=2,c2=1,∴b2=2-1=1,
∴橢圓方程為:
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)證明:由題意知直線MN存在斜率,其方程為y=kx+m,
聯(lián)立方程
x2
2
+y2=1
y=kx+m
,消去y,得
(2k2+1)x2+4kmx+m2-2=0,△=(4km)2-4(2k2+1)(2m2-2)>0

∴2k2-m2+1>0,
設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),
x1+x2=-
4km
2k2+1
,x1x2=
2m2-2
2k2+1

由已知直線F2M與F2N的傾斜角互補(bǔ),
kf2m+kf2N=0,即
kx1+m
x1-1
+
kx2+m
x2-1
=0
,
化簡(jiǎn),得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0,
∴2k•
2m2-2
2k2+1
-(m-k)•
4km
2k2+1
-2m=0
,
解得m=-2k,代入直線y=kx+m,得直線MN過點(diǎn)(2,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法,考查直線過定點(diǎn)的證明,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意兩直線傾斜角互補(bǔ)的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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