Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+1）x+1，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[1，2]上不單調(diào)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若存在m≥0使關(guān)于x的方程f（|x|）=m²+2m+2有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論a的符號(hào)，得到函數(shù)f（x）是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，從而求出a的范圍；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，只需討論x＞0時(shí)的情況即可，通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到表達(dá)式，從而求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）若a=0，f（x）=-x+1，在[1，2]上單調(diào)遞減，不合題意，
若a≠0，函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，對(duì)稱軸x=$\frac{a+1}{2a}$，
根據(jù)題意得：1＜$\frac{a+1}{2a}$＜2⇒$\frac{1}{3}$＜a＜1，
（Ⅱ）m≥0時(shí)，t=m²+2m+2≥2，
因?yàn)閥=f（|x|）為偶函數(shù)，且f（0）=1，所以只須考慮x＞0時(shí)，
函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=t有兩個(gè)不同交點(diǎn)即可．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，x=$\frac{a+1}{2a}$＞0，y=t與y=f（x）（x＞0）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，舍去；
（2）當(dāng)a＜0且x=$\frac{a+1}{2a}$≤0，即：-1≤a＜0時(shí)，f（x）＜1（x＞0），
y=t與y=f（x）（x＞0）的圖象無交點(diǎn)，舍去；
（3）當(dāng)a＜0且x=$\frac{a+1}{2a}$＞0，即：a＜-1時(shí)，只須y=f（x）（x＞0）的最大值
1-$\frac{{（a+1）}^{2}}{4a}$＞2⇒a＜-3-2$\sqrt{2}$或a＞-3+2$\sqrt{2}$（舍去）
綜上，a＜-3-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)根的存在性問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．