Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax²+lnx的導數(shù)f′（x）．
（1）求f（1）+f′（1）；
（2）若曲線y=f（x）存在垂直于y軸的切線，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，代入x=1，計算即可得到所求值；
（2）由題意可得2ax+$\frac{1}{x}$=0有大于0的實根，分離參數(shù)法，由x＞0，可得a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax²+lnx的導數(shù)f′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$，
可得f（1）+f′（1）=a+2a+1=3a+1；
（2）f（x）的導數(shù)f′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$，
由曲線y=f（x）存在垂直于y軸的切線，可得：
2ax+$\frac{1}{x}$=0有大于0的實根，
即有2a=-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
可得a＜0，
即a的范圍是（-∞，0）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查導數(shù)的幾何意義，以及存在性問題的解法，注意運用分離參數(shù)，考查運算能力，屬于基礎題．