Question

已知點(diǎn)M（1，m），圓C：x²+y²=4．
（1）若過點(diǎn)M的圓C的切線只有一條，求m的值及切線方程；
（2）若過點(diǎn)M且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線被圓C截得的弦長為2

3

，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，經(jīng)過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條，因此點(diǎn)A在圓x²+y²=4上，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入圓的方程，解出m．再由點(diǎn)A的坐標(biāo)與直線的斜率公式算出切線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡即可得到所求切線的方程；
（2）由題意，直線不過原點(diǎn)，設(shè)方程為x+y-a=0，利用直線被圓C截得的弦長為2

3

，可得圓心到直線的距離為1，求出直線的方程，即可求出m的值．

解答： 解：（1）圓x²+y²=4的圓心為O（0，0），半徑r=2．
∵過點(diǎn)A的圓的切線只有一條，
∴點(diǎn)A（1，m）是圓x²+y²=4上的點(diǎn)，可得1²+m²=4，解之得m=±

3

．
當(dāng)m=

3

時，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，

3

），可得OA的斜率k=

3

．
∴經(jīng)過點(diǎn)A的切線斜率k'=-

3

3

，
因此可得經(jīng)過點(diǎn)A的切線方程為y-

3

=-

3

3

（x-1），化簡得x+

3

y-4=0；
同理可得當(dāng)m=-

3

時，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，-

3

），經(jīng)過點(diǎn)A的切線方程為x-

3

y-4=0．
∴若過點(diǎn)A的圓的切線只有一條，則m的值為±

3

，相應(yīng)的切線方程方程為x±

3

y-4=0．
（2）由題意，直線不過原點(diǎn)，設(shè)方程為x+y-a=0，
∵直線被圓C截得的弦長為2

3

，
∴圓心到直線的距離為1，
∴

|a|

2

=1，
∴a=±

2

，
∴所求直線方程為x+y±

2

=0，
∴m=-1±

2

．

點(diǎn)評：本題給出圓的方程與點(diǎn)A的坐標(biāo)，求經(jīng)過點(diǎn)A的圓的切線方程．著重考查了圓的方程、直線的基本量與基本形式、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．