Question

已知數(shù)列﹛a_n﹜為等差數(shù)列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．
（1）問(wèn)2014是否是數(shù)列﹛a_n﹜中的項(xiàng)？如果是，計(jì)算它是第幾項(xiàng)？否則說(shuō)明理由；
（2）記﹛a_n﹜的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁，a_k，S_k+2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，由已知列式求得公差，得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入a_n=2014求解n的值；
（2）直接由a₁，a_k，S_k+2成等比數(shù)列列式求得k值．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差等于d，
則由題意可得

2a1+2d=8 2a1+4d=12

，解得 a₁=2，d=2．
∴{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2+（n-1）2=2n．
由2n=2014，得n=1007．
∴2014是否是數(shù)列﹛a_n﹜中的項(xiàng)，為第1007項(xiàng)；
（2）由（1）可得{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=

n(a1+an)

2

=n（n+1），
∵a₁，a_k，S_k+2成等比數(shù)列，
∴ak2=a₁S_k+2，
∴4k² =2（k+2）（k+3），
解得：k=6 或k=-1（舍去），
故k=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．