數(shù)列、的每一項都是正數(shù),,,且、、成等差數(shù)列,、、成等比數(shù)列,.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）求數(shù)列、的通項公式；
（Ⅲ）記，證明：對一切正整數(shù)，有.

(Ⅰ)；（Ⅱ），；（Ⅲ）答案詳見解析.

解析試題分析：(Ⅰ)依題意，，，并結(jié)合已知，，利用賦值法可求、的值；（Ⅱ）由①，②，且，則，（），代入①中，得關于的遞推公式，故可判斷數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求出，代入（）中，求出（），再檢驗時，是否滿足，從而求出；（Ⅲ）和式表示數(shù)列的前項和，故先求通項公式，再選擇相應的求和方法求和，再證明和小于.
試題解析：(Ⅰ)由，可得.由，可得.
（Ⅱ）因為、、成等差數(shù)列，所以…①.因為、、成等比數(shù)列，所以，因為數(shù)列、的每一項都是正數(shù)，所以…②.于是當時…③.  將②、③代入①式，可得，因此數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，
所以，于是.   則.
當時，，滿足該式子，所以對一切正整數(shù)，都有.
（Ⅲ）方法一:，所以.
于是
.
方法二:.
于是
.
考點：1、等差中項和等比中項；2、數(shù)列的遞推公式；3、數(shù)列求和.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列是等差數(shù)列，且
（1）求數(shù)列的通項公式  （2）令，求數(shù)列前n項和

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知{an}為等差數(shù)列，且a2＝－1，a5＝8.
(1)求數(shù)列{|an|}的前n項和；
(2)求數(shù)列{2n·an}的前n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知各項均不相等的等差數(shù)列{an}的前5項和為S5＝35，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設Tn為數(shù)列的前n項和，問是否存在常數(shù)m，使Tn＝m，若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設正數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的首項；
(2)求數(shù)列的通項公式；
(3)設，是數(shù)列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設數(shù)列{an}滿足an+1=2an+n2-4n+1．
（1）若a1=3，求證：存在（a，b，c為常數(shù)），使數(shù)列{an+f(n)}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若an是一個等差數(shù)列{bn}的前n項和，求首項a1的值與數(shù)列{bn}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

正項數(shù)列的前n項和為，且。
（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列并求其通項公式；
（2）設，數(shù)列的前n項和為，證明：。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項和為，且是和的等差中項，等差數(shù)列滿足，.
（1）求數(shù)列、的通項公式； 
（2）設，數(shù)列的前項和為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的通項公式為，在等差數(shù)列數(shù)列中，，且，又、、成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和.

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