如圖：A、B是兩個定點，且|AB|＝2，動點M到A點的距離是4，線段MB的垂直平分線l交MA于點P，直線k垂直于直線AB，且B點到直線k的距離為3．

(Ⅰ)建立適當的坐標系，求動點P的軌跡方程；

(Ⅱ)求證：點P到點B的距離與點P到直線k的距離之比為定值；

(Ⅲ)(理)若點P到A、B兩點的距離之積為m，當m取最大值時，求P點的坐標．

答案：
解析：

 　　(Ⅰ)解：以直線AB為x軸，AB的中點為原點建立直角坐標系，則點A，B的坐標分別是(－1，0)，(1，0)

　　(Ⅰ)解：以直線AB為x軸，AB的中點為原點建立直角坐標系，則點A，B的坐標分別是(－1，0)，(1，0)．　　∵l為MB的垂直平分線，

　　∴|PM|＝|PB|，|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PM|＝4．

　　∴P點的軌跡是以A，B為兩個焦點，長軸長為4的橢圓，其方程是：＋＝1．

　　(Ⅱ)證明：∵橢圓的右準線方程是x＝4恰為直線k的方程．根據(jù)橢圓的定義知點P到點B的距離與點P到直線k的距離之比為離心率e＝

　　(Ⅲ)解：m＝|PA|·|PB|≤＝4，當且僅當|PA|＝|PB|時，m最大，這時點P在y軸上，故點P的坐標是：(0，)或(0，－)．


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