Question

已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（2-x）．
（1）在給定的圖示中畫出函數(shù)f（x）的圖象（不需列表）；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）討論方程f（x）-k=0的根的情況．（只需寫出結(jié)果，不要解答過程）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意先畫出f（x）在[0，+∞）上的圖象，然后根據(jù)該函數(shù)為偶函數(shù)畫出另一半的圖象；
（2）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可以求出x＜0時(shí)的解析式，然后得到整個(gè)定義域上的函數(shù)解析式；
（3）結(jié)合圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想可獲解．

解答： 解：（1）由已知得函數(shù)f（x）的圖象如圖所示．

（2）設(shè)x≤0，則-x≥0，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（2-x）
∴f（-x）=-x（x+2）；
由f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)知：f（-x）=f（x），
∴f（x）=-x（x+2），（x∈（-∞，0]）；…（3分）
所以函數(shù)f（x）的解析式是f(x)=

x(2-x)x∈[0，+∞)

．
（3）由題意得：k=f（x），當(dāng)k＜0或k=1時(shí)，方程f（x）-k=0有兩個(gè)根，
當(dāng)k=0時(shí)，方程f（x）-k=0有三個(gè)根，
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，方程f（x）-k=0有四個(gè)根．
當(dāng)k＞1時(shí)，方程f（x）-k=0沒有實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的偶函數(shù)的圖象性質(zhì)，以及利用圖象解決方程的根的個(gè)數(shù)的問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．