Question

已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，且滿足4cosC+cos2C=4cosCcos²

C

2

．
（1）求∠C的大�。�
（2）若|

CA

-

1

2

CB

|=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算

專題：解三角形

分析：（1）利用二倍角公式對原等式化簡可求得cosC的值，進而求得C．
（2）對原等式平方，利用向量的數量積的運算公式求得關于a和b的關系式，進而利用基本不等式求得ab的范圍，進而求得三角形面積的最大值．

解答： 解：（1）∵4cosC+cos2C=4cosCcos²

C

2

，
∴cosC=

1

2

，
由C為三角形的內角，則C=

π

3

．
（2）∵|

CA

-

1

2

CB

|=2，
∴（|

CA

-

1

2

CB

|）²=4，
即

CA

²+

1

4

AB

²-

CA

•

CB

=4，
即b²+

1

4

a²-

1

2

ab=4，
∵b²+

1

4

a²≥ab，
∴4+

1

2

ab≥ab，
ab≤8，當且僅當b=

1

2

a時等號成立．
則△ABC的面積S=

1

2

absinC≤2

3

．
則三角形ABC的面積的最大值為2

3

．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，平面向量的數量積的運算的應用．考查了學生計算能力和變通能力．