已知f(x)=loga
1+x1-x
(a>0,a≠1),
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇偶性;
(3)判斷f(x)單調(diào)性并用定義證明.
分析:(1)由
1+x
1-x
>0,求得-1<x<1,由此求得函數(shù)的定義域.
(2)由于f(-x)=loga
1-x
1+x
=-loga
1+x
1-x
=-f(x),可得f(x)為奇函數(shù).
(3)設(shè)g(x)=
1+x
1-x
,則f(x)=logaf(x),先由函數(shù)的單調(diào)性的定義證明g(x)在x∈(-1,1)為遞增函數(shù),再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律求得f(x)的單調(diào)性.
解答:解:(1)∵
1+x
1-x
>0,∴-1<x<1,故定義域?yàn)椋?1,1).…(3分)
(2)∵f(-x)=loga
1-x
1+x
=loga(
1+x
1-x
-1=-loga
1+x
1-x
=-f(x),
∴f(x)為奇函數(shù).…(6分)
(3)設(shè)g(x)=
1+x
1-x
,則f(x)=logaf(x),取-1<x1<x2<1,則
g(x1)-g(x2)=
1+x1
1-x1
-
1+x2
1-x2
=
2(x1-x2)
(1-x1)(1-x2)
<0
∴g(x)在x∈(-1,1)為遞增函數(shù),…(8分)
∴a>1時(shí),f(x)為遞增函數(shù),0<a<1時(shí),f(x)為遞減函數(shù)…(10分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)的應(yīng)用,函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷和證明,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
log
(4x+1)
4
+kx是偶函數(shù),其中x∈R,且k為常數(shù).
(1)求k的值;
(2)記g(x)=4f(x)求x∈[0,2]時(shí),函數(shù)個(gè)g(x)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)為R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=3x,那么f(log
 
4
1
2
)的值為
-9
-9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí)有f(x)=log 
110
x

(1)求f(x)的解析式;  
(2)解不等式f(x)≤2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=log 
1
4
x,那么f(-
1
2
)的值是( 。
A、
1
2
B、-
1
2
C、2
D、-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知f(x)=
log(4x+1)4
+kx是偶函數(shù),其中x∈R,且k為常數(shù).
(1)求k的值;
(2)記g(x)=4f(x)求x∈[0,2]時(shí),函數(shù)個(gè)g(x)的最大值.

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