【題目】已知數(shù)列{an}滿足(an+1﹣1)(an﹣1)= (an﹣an+1),a1=2,若bn=
(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)令cn= ,{cn}的前n項(xiàng)和為Tn , 用數(shù)學(xué)歸納法證明Tn (n∈N*).

【答案】
(1)證明:由(an+1﹣1)(an﹣1)= (an﹣an+1)得 =2,

即bn+1﹣bn=2,

∴{bn}是首項(xiàng)為b1= =1,公差為2的等差數(shù)列.


(2)解:由(1)知,bn=1+2(n﹣1)=2n﹣1,cn= =

①當(dāng)n=1時(shí),則有T1=1有T1 =1成立;

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,即Tk 成立,

則當(dāng)n=k+1時(shí),Tk+1=Tk+ck+1= + ,

欲證 + ,

只須證 +1≥k+1,

即證 ≥k,即證 ,即證1≥0,而此式成立

故當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.

故有Tn (n∈N*).


【解析】(1)由(an+1﹣1)(an﹣1)= (an﹣an+1)得 =2,繼而得到{bn}是首項(xiàng)為b1= =1,公差為2的等差數(shù)列.(2)由數(shù)學(xué)歸納法和分析法即可證明.
【考點(diǎn)精析】利用等差關(guān)系的確定和數(shù)學(xué)歸納法的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),即=d ,(n≥2,n∈N)那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列;數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+3x2﹣9x+3.求:
(1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)f(x)的極值.

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【題目】已知 =(sinx,cosx), =(sinx,sinx),函數(shù)f(x)=
(1)求f(x)的對(duì)稱軸方程;
(2)求使f(x)≥1成立的x的取值集合;
(3)若對(duì)任意實(shí)數(shù) ,不等式f(x)﹣m<2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范圍.

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【題目】若函數(shù)f(x)同時(shí)滿足①對(duì)于定義域上的任意x,恒有f(x)+f(﹣x)=0;②對(duì)于定義域上的任意x1、x2 , 當(dāng)x1≠x2時(shí),恒有 <0,則稱函數(shù)f(x)為“理想函數(shù)”.給出下列三個(gè)函數(shù)中:(1)f(x)= ;(2)f(x)=x+1;(3)f(x)= ,能被稱為“理想函數(shù)”的有(填相應(yīng)的序號(hào)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx﹣ax2有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(
A.(﹣∞,0)
B.(0,+∞)
C.
D.(0,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知(x+ n的展開式中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)相等.
(1)求n的值;
(2)求展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和;
(3)求展開式中所有的有理項(xiàng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2017高考特別強(qiáng)調(diào)了要增加對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查,為此某校高三年級(jí)特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的專題訓(xùn)練卷(文、理科試卷滿分均為100分),并對(duì)整個(gè)高三年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試.現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī),按照成績(jī)?yōu)?/span>,,…,分成了5組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖(假定每名學(xué)生的成績(jī)均不低于50分).

(1)求頻率分布直方圖中的的值,并估計(jì)所抽取的50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);

(2)若高三年級(jí)共有2000名學(xué)生,試估計(jì)高三學(xué)生中這次測(cè)試成績(jī)不低于70分的人數(shù);

(3)若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)不低于70分的三組學(xué)生中抽取6人,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人參加這次考試的考后分析會(huì),試求后兩組中至少有1人被抽到的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是(
A.y=1,y=
B.y= × ,y=
C.y=2x+1﹣2x , y=2x
D.y=2lgx,y=lgx2

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