Question

12．某工廠為了對研發(fā)的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：

單價x元	9	9.2	9.4	9.6	9.8	10
銷量y件	100	94	93	90	85	78

（1）求回歸直線方程$\widehat{y}$=bx+a；
（2）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（1）中的關系，且該產品的成本是5元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為多少元？（利潤=銷售收入-成本）（附：對于一組數據（μ₁，v₁），（μ₂，v₂），…，（μ_n，v_n），其回歸直線$\widehat{v}$=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估計分別為：β=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{μ}_{i}-\overline{u}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，α=$\overline{v}$-β$\overline{u}$），$\sum_{i=1}^{6}{x}_{i}{y}_{i}$=5116，$\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=0.7．

Answer 1

分析 （1）利用公式求出$\hat$，$\hat{a}$，即可得出結論．
（2）設該產品的售價為x元，工廠獲利L，根據利潤=銷售收入-成本，利用基本不等式求解最大利潤．

解答 解：樣本平均數$\overline{x}$=$\frac{1}{6}（9+9.2+9.4+9.6+9.8+10）$=9.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{6}（100+94+93+90+85+78）$=90，
$\sum_{i=1}^{6}{x}_{i}{y}_{i}$=5116，
$\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=0.7
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{5116-6×9.5×90}{0.7}$=-20．
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=90+9.5×20=280；
故回歸直線方程為$\widehat{y}$=-20x+280．
（2）設該產品的售價為x元，工廠獲利L元，
利潤=銷售收入-成本，
即L=（x-5）（-20x+280）=20（x-5）（14-x）≤20×$（\frac{x-5+14-x}{2}）^{2}$=405．
當且僅當x-5=14-x，即x=9.5時，取得最大值．
因此，工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為9.5元．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法及基本不等式的應用，屬于基礎題．