Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，且F是CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求四面體BCEF的體積．

Answer 1

分析：（1）取EC中點G，連BG，GF，證明四邊形ABGF為平行四邊形，可得AF∥BG，利用線面平行的判定定理，即可得出結(jié)論；
（2）證明BG⊥DE，BG⊥CD，可得BG⊥平面CDE，利用面面垂直的判定定理，即可得出結(jié)論；
（3）四面體BCEF的體積V=

1

3

S△CFE•BG，即可求出．

解答：（1）證明：取EC中點G，連BG，GF．
∵F是CD的中點，∴FG∥DE，且FG=

1

2

DE．
又∵AB∥DE，且AB=

1

2

DE．
∴四邊形ABGF為平行四邊形．…（3分）
∴AF∥BG．
又BG?平面BCE，AF?平面BCE．
∴AF∥平面BCE．           …（5分）
（2）證明：∵AB⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴AB⊥AF．
∵AB∥DE，∴AF⊥DE．    …（6分）
又∵△ACD為正三角形，∴AF⊥CD．    …（7分）
∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD．     …（8分）
∵CD∩DE=D，∴BG⊥平面CDE．  　 …（9分）
∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE；    …（11分）
（3）解：四面體BCEF的體積V=

1

3

S△CFE•BG=

1

3

×

1

2

CF•DE•AF=

1

3

×

1

2

×1×2•

3

=

3

3

．  …（14分）

點評：本題考查線面平行，面面垂直，考查四面體BCEF的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．