Question

15．過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，且滿足|AB|=10，則|x₂-x₁|=2$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，討論直線AB的方程：x=1或y=k（x-1），代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義，即可求得k，進(jìn)而運(yùn)用配方，即可得到所求值．

解答 解：y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1．
若直線AB：x=1，
則代入拋物線方程y²=4x，可得y=±2，|AB|=4不成立，
設(shè)直線AB：y=k（x-1），
代入拋物線方程，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
由拋物線的定義可得|AB|=x₁+x₂+2=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$=10，
解得k²=$\frac{2}{3}$，
即有x₁+x₂=8，
則|x₂-x₁|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{64-4}$=2$\sqrt{15}$．
故答案為：2$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，同時(shí)考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，屬于中檔題．