已知函數(shù)f（x）=x2+a|x-1|+1（a∈R），求f（x）的最小值．
考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：本題可先對x進(jìn)行討論，將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)對稱軸和定義域的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后得到本題的總的結(jié)論．
解答： 解：f(x)=x2+a|x-1|+1=
x2+ax-a+1，x≥1
x2-ax+a+1，x＜1
，
①當(dāng)a＞0時
 （i）
a
2
≥1即a≥2時，-
a
2
≤-1，f（x）min=f（1）=2；
 （ii）
a
2
＜1即0＜a＜2時，-1＜-
a
2
＜0，f(x)min=f(
a
2
)=-
a2
4
+a+1；
②當(dāng)a＜0時
 （i）-
a
2
≥1即a≤-2時，
a
2
≤-1，f(
a
2
)=-
a2
4
+a+1，f(-
a
2
)=-
a2
4
-a+1，f(x)min=f(
a
2
)=-
a2
4
+a+1；
 （ii）-
a
2
＜1即-2＜a＜0時，-1＜
a
2
＜0，f(x)min=f(
a
2
)=-
a2
4
+a+1；
③a=0時，f（x）=x2+1，f（x）min=1
綜上：f(x)min=
-
a2
4
+a+1，a＜2
2，a≥2
．
點(diǎn)評：本題考查了含絕對值的函數(shù)值域，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．本題涉及到了二層討論，有一定的思維難度，計算較繁，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在幾何體ABC-A1B1C1中，點(diǎn)A1，B1，C1在平面ABC內(nèi)的正投影分別為A，B，C，且AB⊥BC，E為AB1中點(diǎn)，AB=AA1=BB1=2CC1．
（Ⅰ）求證；CE∥平面A1B1C1，
（Ⅱ）求證：平面AB1C1⊥平面A1BC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-3ax2+2ax+1（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-
3
8
時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 當(dāng)a＞0時，函數(shù)g（x）=f（x）+3-2ax在區(qū)間[1，2]上存在實數(shù)x，使得g（x）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a為實數(shù)，f（x）=（x2-4）（x-a）．
（1）若f′（-1）=0，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間
（2）若函數(shù)f（x）在[
4
3
，+∞)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=-x2+2x+2．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）畫出f（x）的圖象，并指出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sin（α+
π
3
）+sinα=-
4
3
5
，-
π
2
＜α＜0，求cosα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-ax-1，
（1）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin（x-
π
6
）sin（x+
π
3
），
π
6
≤x≤
5π
12
．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x）=
2
2
3
，求f（
x
2
+
π
4
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0）
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）a=1時，函數(shù)f（x）有三個互不相同的零點(diǎn)，求實數(shù)m的取值范圍．

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