Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=3a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$=2（n+1）$•（\frac{2}{3}）^{n-1}$，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=3a_n-1，∴n=1時，a₁=3a₁-1，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-1-（3a_n-1-1），化為：${a}_{n}=\frac{3}{2}{a}_{n-1}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為$\frac{3}{2}$．
∴a_n=$\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-1}$．
（2）b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$=2（n+1）$•（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=2$[2+3×\frac{2}{3}+4×（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（n+1）×（\frac{2}{3}）^{n-1}]$，
$\frac{2}{3}{T}_{n}$=2$[2×\frac{2}{3}+3×（\frac{2}{3}）^{2}+…+n•（\frac{2}{3}）^{n-1}$+$（n+1）•（\frac{2}{3}）^{n}]$，
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}$=2$[2+\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}+…+（\frac{2}{3}）^{n-1}-（n+1）•（\frac{2}{3}）^{n}]$=2×$[1+\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}]$-2（n+1）$•（\frac{2}{3}）^{n}$=8-（2n+8）$（\frac{2}{3}）^{n}$．
∴T_n=24-（6n+24）$（\frac{2}{3}）^{n}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．