Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinωx，1），$\overrightarrow$=（cosωx，0），其中ω＞0，又函數(shù)f（x）=$\overrightarrow$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）+k是以$\frac{π}{2}$為最小正周期的周期函數(shù)，當x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，函數(shù)f（x）的最小值為-2
（1）求f（x）的解析式；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化簡f（x），根據(jù)周期求出ω，再利用x的范圍和最小值求出k；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調區(qū)間列出不等式解出．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx+k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{1}{2}$-k=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$-k．
∵T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2．
∴f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$-k．
當x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，4x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴當4x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最小值，
∴-$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$-k=-2．解得k=1．
∴f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{3}{2}$．
（2）令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤4x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$．
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$]，k∈Z．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質，平面向量的數(shù)量級運算，屬于中檔題．