下列命題中正確的是( 。
分析:對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)加以判斷:通過求出兩條直線的斜率,得到兩條直線互相垂直,說明A不正確;根據(jù)三垂線定理,結(jié)合異面直線所成角的定義,得到B不正確;根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義,得到C不正確;根據(jù)三角形中較大的邊對(duì)較大的角,較大的角也對(duì)較大的邊,結(jié)合正弦定理,可得D正確.
解答:解:對(duì)于A,當(dāng)m=
1
2
時(shí),直線(m+2)x+3my+1=0即
5
2
x+
3
2
y+1=0
,斜率為-
5
3

直線(m-2)x+(m+2)y-3=0即-
3
2
x+
5
2
y-3=0
,斜率為
3
5

-
5
3
3
5
=-1

∴兩條直線互相垂直,不平行.
因此m=
1
2
不是兩條直線平行的充分條件,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,當(dāng)直線l是平面α的一條斜線,且l在α內(nèi)的射影為l′,
則根據(jù)三垂線定理,在α內(nèi)與l′垂直的直線m必定垂直于l,
直線m在平面α內(nèi)可以平行移動(dòng),可知這樣的直線m有無數(shù)條,
因此“直線l垂直平面α的無數(shù)條直線”不是“直線l垂直于平面α”的充分條件,B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,當(dāng)非零向量
a
,
b
c
滿足
b
、
c
向量在向量
a
上的投影相等時(shí),
即有“
a
b
=
a
c
”成立,不一定有“
b
=
c
”,命題的充分性不成立
所以“
a
b
=
a
c
”不是“
b
=
c
”的充要條件,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,在△ABC中,若“A>B”成立,則有“a>b”,
再結(jié)合正弦定理有:2RsinA>2RsinB,可得“sinA>sinB”成立,其中R是外接圓半徑
反之,若“sinA>sinB”成立,可由正弦定理和大邊對(duì)大角的結(jié)論得到“A>B”成立
所以在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要條件.故D正確.
故選D
點(diǎn)評(píng):本題綜合了直角坐標(biāo)系中直線的平行與垂直、空間直線的位置關(guān)系、平面向量的數(shù)量積和三角形中三角函數(shù)值的大小比較等知識(shí)點(diǎn),考查了充分必要條件的判斷,屬于中檔題.
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3
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