Question

下列命題中正確的是（　�。�

• A．“m=

  1

  2

  ”是“直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互平行”的充分不必要條件
• B．“直線l垂直平面α的無數(shù)條直線”是“直線l垂直于平面α”的充分條件
• C．已知

  a

  ，

  b

  ，

  c

  為非零向量，則“

  a

  ?

  b

  =

  a

  ?

  c

  ”是“

  b

  =

  c

  ”的充要條件
• D．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件

Answer 1

分析：對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)加以判斷：通過求出兩條直線的斜率，得到兩條直線互相垂直，說明A不正確；根據(jù)三垂線定理，結(jié)合異面直線所成角的定義，得到B不正確；根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，得到C不正確；根據(jù)三角形中較大的邊對(duì)較大的角，較大的角也對(duì)較大的邊，結(jié)合正弦定理，可得D正確．

解答：解：對(duì)于A，當(dāng)m=

1

2

時(shí)，直線（m+2）x+3my+1=0即

5

2

x+

3

2

y+1=0，斜率為-

5

3

直線（m-2）x+（m+2）y-3=0即-

3

2

x+

5

2

y-3=0，斜率為

3

5

∵-

5

3

•

3

5

=-1
∴兩條直線互相垂直，不平行．
因此m=

1

2

不是兩條直線平行的充分條件，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)直線l是平面α的一條斜線，且l在α內(nèi)的射影為l′，
則根據(jù)三垂線定理，在α內(nèi)與l′垂直的直線m必定垂直于l，
直線m在平面α內(nèi)可以平行移動(dòng)，可知這樣的直線m有無數(shù)條，
因此“直線l垂直平面α的無數(shù)條直線”不是“直線l垂直于平面α”的充分條件，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)非零向量

a

，

b

，

c

滿足

b

、

c

向量在向量

a

上的投影相等時(shí)，
即有“

a

•

b

=

a

•

c

”成立，不一定有“

b

=

c

”，命題的充分性不成立
所以“

a

•

b

=

a

•

c

”不是“

b

=

c

”的充要條件，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，在△ABC中，若“A＞B”成立，則有“a＞b”，
再結(jié)合正弦定理有：2RsinA＞2RsinB，可得“sinA＞sinB”成立，其中R是外接圓半徑
反之，若“sinA＞sinB”成立，可由正弦定理和大邊對(duì)大角的結(jié)論得到“A＞B”成立
所以在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件．故D正確．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題綜合了直角坐標(biāo)系中直線的平行與垂直、空間直線的位置關(guān)系、平面向量的數(shù)量積和三角形中三角函數(shù)值的大小比較等知識(shí)點(diǎn)，考查了充分必要條件的判斷，屬于中檔題．