Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，n∈N^*，a₂=5，S₈=100
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)b_n=4^a_n+2n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₂=5，S₈=100，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．
（2）b_n=4^a_n+2n=4^3n-1+2n，分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₂=5，S₈=100，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=5}\\{8{a}_{1}+\frac{8×7}{2}d=100}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，d=3，∴a_n=3n-1．
（2）b_n=4^a_n+2n=4^3n-1+2n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（4²+2）+（4⁵+4）+…+（4^3n-1+2n）
=（4²+4⁵…+4^3n-1）+（2+4+…+2n）
=$\frac{{16（1-{{64}^n}）}}{1-64}+\frac{n（2+2n）}{2}$=$\frac{16}{63}（{64^n}-1）+n（n+1）$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．